每日一题[233] "10秒钟解决"

2009年北京市中考选择压轴题（2012年定西市中考选择压轴题）：

如图，$C$为$\odot O$直径$AB$上一动点，过点$C$的直线交$\odot O$于$D$ 、 $E$两点，且$\angle ACD=45^\circ$，$DF\perp AB$ 于点$F$，$EG\perp AB$于点$G$，当点$C$在$AB$上运动时，设$AF=x$，$DE=y$，下列图象中，能表示$y$与$x$的函数关系式的图象大致是_______．

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正确答案是$f_1(x)$．

解    当$F$从$A$点出发时，显然有$y$随着$x$的增大而增大，因此只有$f_1(x)$符合题意．（也可以观察当$C$位于圆心$O$处时$y$取得最大值，于是函数有最大值，只有$f_1(x)$符合题意．）

因此这是一个“10秒钟解决”的选择压轴题，但之所以能够“10秒钟解决”并不是因为我们的解法精妙，而是题目实在太和谐了．于是我们尝试修复这个BUG：

选项升级

定性分析

如图，可以确定函数的最大值点在定义域中点的左侧，因此选择$f_1(x)$．

精确计算

不妨设圆的半径为$1$，则可以计算得

$$y=\sqrt 2\cdot\sqrt{x(2-x)}+\sqrt 2\left(1-x\right),$$ 于是令 $$\begin{eqnarray}t=\sqrt{x(2-x)}-x,\end{eqnarray}$$ 则有 $$\begin{eqnarray}y=\sqrt 2\cdot\left(t+1\right),\end{eqnarray}$$ 由(1)得 $$2x^2+2(t-1)x+t^2=0,$$ 于是 $$\Delta=4(t-1)^2-8t^2\geqslant 0,$$ 解得 $$-1-\sqrt 2\leqslant t\leqslant -1+\sqrt 2,$$ 进而可得当$x=1-\dfrac{\sqrt 2}2$时，$t$取得最大值$-1+\sqrt 2$．

因此再由(2)得$y$的最大值为$2$，当$x=1-\dfrac{\sqrt 2}{2}$时取得．