每日一题[197] 元素们何去何从

2014年全国高中数学联赛辽宁省预赛第1题：

已知$A\cup B\cup C=\{a,b,c,d,e,f\}$，$A\cap B=\{a,b,c,d\}$，$c\in A\cap B\cap C$，则符合上述条件的$\{A,B,C\}$共有_______组．

正确答案是$200$．

画出集合$A$、$B$、$C$的韦恩图示，共有$7$个不同的区域，分别为I、II、III、IV、V、VI、VII．

分别考虑元素$a,b,c,d,e,f$可以填入的区域，每种填入方式与一组符合条件的$\{A,B,C\}$相对应．

$a,b,d$均有IV、VII两种选择；

$c$仅有VII一种选择；

$e,f$均有I、II、III、V、VI五种选择；

因此总的填入方式种数为$2^3\cdot 5^2=200$．