2026年3月广东深圳市一模数学试卷 #11
将一枚质地均匀的硬币连续投掷 $n$ 次，定义随机变量 $X_n$ 为结果中连续出现正面的最大次数．若始终未出现正面，规定 $X_n=0$．例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为 $1$ 和 $2$，故 $X_4=2$，则（ ）
A．$P\left(X_2=2\right)=\dfrac 1 4$
B．$E\left(X_3\right)=\dfrac{11}8$
C．$P\left(X_6=4\right)=P^2\left(X_3=2\right)$
D．$E\left(X_n\right)\leqslant\dfrac n 2$
答案 ABD．
解析 对于选项 $\boxed{A}$，$P(X_2=2)=\dfrac 12\cdot \dfrac 12=\dfrac 14$，选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，用 $1$ 表示正面，用 $0$ 表示反面，则连续投掷 $3$ 次的所有可能为\[000,001,010,100,101,011,110,111,\]因此分布列为\[\begin{array}{c|c|c|c|c}\hline k&0&1&2&3\\ \hline P(X_3=k)&\frac 18&\frac 48&\frac 28&\frac 18\\ \hline\end{array}\]于是 $E(X_3)=\frac{11}8$，选项正确；
对于选项 $\boxed{C}$，连续投掷 $6$ 次，出现 $X_6=4$ 的投掷结果有\[ 001111,011110,101111,111100,111101,\]因此 $P(X_6=4)=\dfrac{5}{64}$，而 $P^2(X_3=2)=\dfrac 1{16}$，选项错误；
对于选项 $\boxed{D}$，设 $Y_n$ 为结果中连续出现反面的最大次数，则 $E(X_n)=E(Y_n)$，而对任何一次试验结果，都有\[X_n+Y_n\leqslant n\implies E(X_n)=E(Y_n)\leqslant \dfrac n2,\]累加即得， 选项正确；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．