2026年湖南长沙市高三期末数学试卷 #18
已知集合 $U$ 含有 $n$ 个元素，其中 $n\geqslant 2$，先后两次随机、独立地选取集合 $U$ 的两个子集，记为 $A$ 与 $B$．设 $X$ 为集合 $A\cup B$ 中元素的个数，
1、若 $U=\{1,2\}$，且 $X=1$，请列举所有满足条件的 $A$ 和 $B$；
2、求随机变量 $X$ 的数学期望 $E(X)$；
3、设 $P(X=k)$ 在 $k=m$ 处取得最大值，用 $E(X)$ 表示 $m$．
解析
1、所有满足条件的 $(A,B)$ 按是否有空集分类列举为\[(\varnothing,\{1\}),(\varnothing,\{2\},(\{1\},\varnothing)),(\{2\},\varnothing)),(\{1\},\{1\}),(\{2\},\{2\}).\]
2、若 $X=k$，则 $A\cup B$ 为 $U$ 的 $k$ 元子集，有 $\dbinom nk$ 种；将 $A\cup B$ 划分三个互不相交的部分：$A-B,B-A,AB$，对应 $(A,B)$ 有 $3^k$ 个，因此有\[P(X=k)=\dfrac{\binom nk\cdot 3^k}{2^n\cdot 2^n}=\binom nk\left(\frac 34\right)^k\left(\frac 14\right)^{n-k},\]因此 $X\sim B\left(n,\frac 34\right)$，进而 $E(X)=\frac {3n}4$．
3、当 $k<n$ 时，有\[\dfrac{P(X=k+1)}{P(X=k)}=\dfrac{3(n-k)}{k+1}=1+4\cdot \dfrac{\frac{3n-1}4-k}{k+1},\]因此当 $\frac{3n-1}4$ 为整数时，$m=\frac{3n-1}4,\frac{3n+3}4$；当 $\frac{3n-1}4$ 不为整数时，有 $m=\left\lceil\frac{3n-1}4\right\rceil$，于是\[m=\begin{cases} E(X)-\frac14,E(X)+\frac 34,&E(X)-\frac 14\in \mathbb Z,\\ \left\lceil E(X)-\frac 14\right\rceil,&E(X)-\frac 14\notin \mathbb Z.\end{cases}\]