来自 73Dsi 的非常漂亮的题目．
若对于任意三角形 $\triangle A B C$，曲线系 $\Gamma_m$ 中均存在其中一条曲线使得曲线上存在三点 $P,Q,R$ 且 $\triangle P Q R$ 与 $\triangle ABC$ 全等，则称该曲线系是保三角形曲线系．以下曲线系中是保三角形曲线系的有（ ）
A．$y=|mx|$（$m\in\mathbb R$）
B．$x^2+y^2=m$（$m>0$）
C．$y=x^m$（$m\in\mathbb R$）
D．$y=m x^2$（$m\in\mathbb R^{\ast}$）
E．$xy=m$（$m\in\mathbb R^{\ast}$）
答案 ABCDE．
解析 对于选项 $\boxed{A}$，选择坐标原点 $O$ 为 $Q$，调节 $m$，使 $y=|m|x$（$x\geqslant 0$）与 $y=-|m|x$（$x\leqslant 0$）的夹角为 $\angle B$，然后在两条射线上分别取 $|QP|=|BA|,|QR|=|BC|$ 即可，选项正确；
对于选项 $\boxed{B}$，将 $\triangle ABC$ 放置在坐标平面上，并使坐标原点 $O$ 为其外心，调整 $m$ 使得圆 $\Gamma_m$ 为其外接圆，选项正确；
对于选项 $\boxed{C}$，取 $m=-2$，作与 $\triangle ABC$ 全等的 $\triangle PQR$，且 $PQ$ 是曲线在第一象限分支的弦，$R$ 在 $PQ$ 下方，则当 $PQ$ 足够远（$x$ 轴正半轴方向）时，$R$ 在曲线在第二象限分支的外部；当 $PQ$ 向 $y$ 轴正半轴方向滑动时，由于曲线两支的距离可以要多近有多近，因此必然存在某个时刻使得 $R$ 在曲线在第二象限分支的内部，所以在滑动过程中存在某个时刻使 $R$ 落在曲线上，选项正确；
对于选项 $\boxed{D}$，不妨设 $\angle B$ 为锐角，取 $Q(0,0)$，作等腰三角形 $PQR$，使 $\angle PQR=\angle B$，考虑 $QP$ 趋于 $O$ 处切线（即 $x$ 轴），可得 $\dfrac{|QP|}{|QR|}$ 可以取遍 $(0,1]$，此时可以得到与 $\triangle ABC$ 相似的三角形，再利用 $m$ 调节大小使三角形全等，选项正确；
对于选项 $\boxed{E}$，不妨设 $\angle B$ 为锐角，考虑 $y=\dfrac 1x$，取 $Q(-1,-1)$，则 $\dfrac{|QP|}{|QR|}$ 可以取遍 $(0,1]$，此时可以得到与 $\triangle ABC$ 相似的三角形，再利用 $m$ 调节大小使三角形全等，选项正确；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{A}$ $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$ $\boxed{E}$．