已知 $\triangle A B C$ 外接圆 $O$ 的半径为 $1$，$ \angle A$ 的角平分线交圆 $O$ 于另一点 $D$，$ A D=\sqrt{3}$，则 $\angle C A D$ 的取值范围是_____，$\overrightarrow{A B} \cdot \overrightarrow{A C}$ 的最小值是_____．
答案 $\left(0,\dfrac{\pi}3\right)$；$-\dfrac 18$．
解析 根据题意，劣弧 $AD$ 所对圆周角为 $\dfrac{2\pi}3$，于是 $\angle DAC=\angle DAB$，取值范围是 $\left(0,\dfrac{\pi}3\right)$．
建立直角坐标系 $O-Dy$，$OA$ 对应的角为 $\dfrac{2\pi}3$，设 $B,C$ 对应的角分别为 $\theta,-\theta$，其中 $\theta\in\left(0,\dfrac{2\pi}3\right)$，则\[\begin{split}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}&=\left(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}\right)\cdot \left(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}\right)\\ &=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}+OA^2\\ &=\cos2\theta-\cos\left(\dfrac{2\pi}3-\theta\right)-\cos\left(\dfrac{2\pi}3+\theta\right)+1\\ &=\cos2\theta+\cos\theta+1\\ &=2\cos^2\theta+\cos\theta\\ &\geqslant -\dfrac 18,\end{split}\]等号当 $\cos\theta=-\dfrac 14$ 时取得，因此所求最小值为 $-\dfrac 18$．