每日一题[4023]函数与方程

在 $\triangle A B C$ 中，$\sin ^2 A+\sin ^2 B=\sin (A+B)$ 是 $C$ 为直角的（       ）

A．充分但非必要条件

B．必要但非充分条件

C．充要条件

D．既非充分条件也非必要条件

答案    B．

解析 

必要性    若 $C$ 为直角，则\[(A,B,C)=\left(A,\dfrac{\pi}2-A,\dfrac{\pi}2\right)\implies \sin^2A+\sin^2B=1=\sin(A+B),\]必要性得证．

充分性    问题转化为以 $B$ 为参数的关于 $A$ 的函数\[f(A)=\sin^2A+\sin^2B-\sin(A+B),\]其中参数 $B\in(0,\pi)$，那么当 $A\in\left(0,\pi-B\right)$ 时，是否存在不同于 $A=\dfrac{\pi}2-B$ 外的实数解？ 考虑端点处的函数值，有\[f(0)=\sin^2B-\sin B<0,\quad f(\pi-B)=2\sin^2B>0,\]而当 $B>\dfrac{\pi}2$ 时，$\dfrac{\pi}2-B\notin (0,\pi-B)$，此时 $f(A)$ 在 $(0,\pi-B)$ 上有不同于 $A=\dfrac{\pi}2-B$ 的实数解 $^{[1]}$．因此充分性不成立．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}$．

备注    $[1]$ 如取 $B=150^\circ$，则 $x=0.219171\cdots$，也即 $(A,B,C)=(12.6603^\circ,150^\circ,17.3397^\circ)$ 为方程的一组近似解．