2025年浙江镇海中学高一数学期中考试 #14
黎曼函数是由德国数学家波恩哈德 $\cdot $ 黎曼发现并提出的，其在高等数学中有着广泛的应用．黎曼函数定义在 $[0,1]$ 上，其解析式为\[R(x)=\begin{cases}\dfrac 1 p,&x=\dfrac q p,(p,q)=1,p>q,\\0,&x\in \{x\notin \mathbb Q\mid x\in [0,1]\}\cup\{0,1\},\end{cases}\]若定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x)$ 满足 $f(3 x)+f(2-3 x)=0$，且 $f(x+2)$ 为偶函数，当 $x\in[0,1)$ 时，$f(x)=R(x)$，则 $\displaystyle \sum\limits_{k=1}^{2025}f\left(\dfrac k 4\right)=$_____．
答案 $-\dfrac 14$．
解析 由 $f(3 x)+f(2-3 x)=0$ 可得 $f(x)$ 关于 $(1,0)$ 对称，由 $f(x+2)$ 为偶函数可得 $f(x)$ 关于 $x=2$ 对称，进而在 $x=\dfrac 14,\dfrac 24,\cdots,\dfrac{2025}4$ 中连续 $16$ 个自变量对应的函数值和为 $0$，而 $2025=16\cdot 126+9$，于是\[\sum\limits_{k=1}^{2025}f\left(\dfrac k 4\right)=\sum_{k=1}^9f\left(\dfrac k 4\right)=\sum_{k=0}^8f\left(\dfrac k4\right)+f\left(\dfrac 94\right)=f\left(\dfrac 94\right)=f\left(\dfrac 74\right)=-f\left(\dfrac 14\right)=-\dfrac14.\]