2025年浙江镇海中学高一数学期中考试 #19
已知函数 $f(x)=-\dfrac t x+\ln (\mathrm e x)$，$g(x)=\dfrac{t x}{\mathrm e}+\ln x$．（注：$\mathrm e=2.71828\cdots$ 是自然对数的底数）
1、若 $t=0$，求不等式 $f(x)+g(x)\geqslant 3$ 的解集；
2、若 $t>0$，且实数 $x_1,x_2$ 满足 $f\left(x_1\right)=0$，$g\left(x_2\right)=0$，
① 证明：$\dfrac 1{\mathrm e}<x_1 x_2<\mathrm e$；
② 若 $x_1,x_2$ 满足 $\ln\dfrac{x_1}{x_2}\geqslant 5-3\ln 2$，求 $x_1 x_2$ 的最小值．
解析
1、当 $t=0$ 时，题中不等式即\[\ln(\mathrm ex)+\ln x\geqslant 3\iff \ln x>1\iff x\geqslant \mathrm e,\]因此所求解集为 $[\mathrm e,+\infty)$．
2、① 根据题意，有\[\ln (\mathrm ex_1)=\dfrac{t}{x_1},\ln x_2=-\dfrac{tx_2}{\mathrm e},\]于是\[\ln(\mathrm ex_1x_2)=\dfrac{1}{\mathrm ex_1}\cdot t\cdot (\mathrm e-x_1x_2),\] 若 $x_1x_2\leqslant \dfrac{1}{\mathrm e}$，则 $LHS<0<RHS$，矛盾； 若 $x_1x_2\geqslant \mathrm e$，则 $LHS>0>RHS$，矛盾； 综上所述，有 $\dfrac 1{\mathrm e}<x_1 x_2<\mathrm e$．
② 根据题意，有\[\ln\dfrac{\mathrm ex_1}{x_2}\geqslant 6-3\ln 2\iff \dfrac{1}{ex_1}\cdot t\cdot (\mathrm e+x_1x_2)\geqslant 6-3\ln 2,\]结合上一小题的过程，有\[ \ln(\mathrm ex_1x_2)\geqslant \dfrac{6-3\ln 2}{\mathrm e+x_1x_2}\cdot (\mathrm e-x_1x_2),\]也即\[\dfrac{\mathrm e+x_1x_2}{\mathrm e-x_1x_2}\cdot \left(\ln (x_1x_2)+1\right)\geqslant 3\cdot (2-\ln 2)\]不等式左侧随 $x_1x_2$ 单调递增，且当 $x_1x_2=\dfrac{\mathrm e}2$ 时左右两侧相等，因此 $x_1x_2$ 的最小值为 $\dfrac{\mathrm e}2$．