已知双曲线 $\dfrac{x^2}9-\dfrac{y^2}8=1$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，$O$ 为坐标原点，$P$ 是双曲线上位于第一象限的一动点，直线 $PF_1,PF_2$ 分别交双曲线于不同于 $P$ 点的点 $A,B$，$\triangle OAB,\triangle PAB$ 的面积分别记为 $S_1,S_2$，且 $\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac{9}{52}$，求点 $P$ 的坐标．
答案 $\left(\sqrt{17},\frac 83\right)$．
解析 记双曲线的焦点为 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$，其中 $c=1$，设 $\overrightarrow{F_1P}=\lambda \overrightarrow{F_1A}$，$\overrightarrow{F_2P}=\mu \overrightarrow{F_2B}$，则\[-\overrightarrow{PF_1}=\lambda\left(\overrightarrow{PA}-\overrightarrow{PF_1}\right),\quad -\overrightarrow{PF_2}=\mu\left(\overrightarrow{PB}-\overrightarrow{PF_2}\right),\]于是\[ \overrightarrow{PO}=\dfrac 12\overrightarrow{PF_1}+\dfrac 12\overrightarrow{PF_2}=\dfrac {\lambda}{2(\lambda -1)}\overrightarrow{PA}+\dfrac{\mu}{2(\mu-1)}\overrightarrow{PB},\]因此\[\dfrac{S_1}{S_2}=\dfrac {\lambda}{2(\lambda -1)}+\dfrac{\mu}{2(\mu-1)}\iff 1-\dfrac 12\cdot \dfrac{2-(\lambda+\mu)}{\lambda \mu -(\lambda+\mu)-1}=\dfrac{9}{52}.\tag{1}\]而\[\lambda=\dfrac{y_0}{y_1}=\dfrac{x_0+c}{x_1+c}=-\dfrac{x_0+\frac 9c}{x_1+\frac 9c}=\dfrac{(x_0+c)+\left(x_0+\frac 9c\right)}{(x_1+c)-\left(x_1+\frac 9c\right)}=\dfrac{2x_0+c+\frac 9c}{c-\frac 9c},\]同理可得\[\mu=\dfrac{2x_0-c-\frac9c}{-c+\frac 9c}=\dfrac{-2x_0+c+\frac 9c}{c-\frac 9c},\]因此\[\lambda+\mu=\dfrac{2\left(c+\frac 9c\right)}{c-\frac 9c}=\dfrac{13}2.\tag{2}\]联立 $(1)(2)$，可得\[\begin{cases} \lambda+\mu=\frac{13}2,\\ \lambda\mu=-\frac{15}2,\end{cases}\iff (\lambda,\mu)=\left(-1,\frac{13}2\right),\left(\frac{13}2,-1\right),\]而点 $P$ 在第一象限，于是 $x_0=x_2=\sqrt{17}$，从而 $y_0=\frac 83$，因此点 $P$ 的坐标为 $\left(\sqrt{17},\frac 83\right)$．