已知抛物线 $y^2=4x$ 上一点 $M(1,-2)$，作过点 $M$ 的定直线 $l$，点 $Q$ 是抛物线上动点，过点 $Q$ 作 $x$ 轴的平行线交直线 $l$ 于点 $B$，过 $Q$ 作直线 $l$ 的垂线，垂足为 $A$，若 $\dfrac{|MB|^2}{|MA|}$ 为定值，求直线 $l$ 的方程．
答案 $x-y-3=0$．
解析 设直线 $l$ 的参数方程为 $(x,y)=(1+mt,-2+t)$，$Q(4a^2,4a)$，则点 $B$ 对应的参数为 $4a+2$，于是\[|MB|^2=(m^2+1)\cdot (4a+2)^2=4(m^2+1)(4a^2+4a+1),\]而 $|MA|$ 为 $\overrightarrow{MQ}$ 在直线 $l$ 的方向向量 $(m,1)$ 上的投影长度，有\[ |MA|=\dfrac{\left|\overrightarrow{MQ}\cdot (m,1)\right|}{\sqrt{m^2+1}}=\dfrac{\left|(4a^2-1,4a+2)\cdot (m,1)\right|}{\sqrt{m^2+1}}=\dfrac{\left|4ma^2+4a+(2-m)\right|}{\sqrt{m^2+1}},\]因此由 $\dfrac{|MB|^2}{|MA|}$ 为定值，可得 $m=1$，所以直线 $l$ 的方程为 $x-y-3=0$．