已知抛物线 $y=x^2$ 上两点 $A\left(-\dfrac 12,\dfrac 14\right),B\left(\dfrac 32,\dfrac 94\right)$，$P$ 为抛物线上的动点（横坐标在 $A,B$ 的横坐标之间），点 $B$ 在直线 $AP$ 上的投影为 $Q$，则 $|PA|\cdot |PQ|$ 的最大值为_____．
答案 $\dfrac{27}{16}$．
解析 设 $P(x,y)$，由 $\angle AQB$ 为直角可得 $Q$ 在以 $AB$ 为直径的圆上，该圆的圆心为 $M\left(\dfrac 12,\dfrac 54\right)$，半径为 $r=\sqrt 2$，因此根据圆幂定理，有 $^{[1]}$\[\begin{split} |PA|\cdot |PQ|&=r^2-|PM|^2\\ &=2-\left(\left(x-\frac 12\right)^2+\left(x^2-\frac 54\right)^2\right)\\ &=-x^4+\dfrac 32x^2+x+\dfrac3{16}\\ &=\dfrac1{16}(1+2x)^3(3-2x)\\ &\leqslant \dfrac 1{48}\left(\dfrac{3(1+2x)+(9-6x)}{4}\right)^4\\ &=\dfrac{27}{16},\end{split}\]等号当 $x=1$ 时取得，因此所求最大值为 $\dfrac{27}{16}$．
$[1]$ 由于 $P$ 与 $A,B$ 重合时均有 $|PA|\cdot |PQ|=0$，因此必然包含因式 $(1+2x)(3-2x)$，也可以利用\[|PA|\cdot |PQ|=-\overrightarrow{PA}\cdot \overrightarrow{PB}=-\left(x+\dfrac 12\right)\left(x-\dfrac 32\right)-\left(x^2-\dfrac14\right)\left(x^2-\dfrac 94\right),\]便于提取公因式．