设椭圆 $C: \dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为 $\dfrac{2\sqrt 2}3$，下顶点为 $A$，右顶点为 $B$，$|A B|=\sqrt{10}$．
1、求椭圆 $C$ 的标准方程；
2、已知动点 $P$ 不在 $y$ 轴上，点 $R$ 在射线 $AP$ 上，且满足 $|AP|\cdot |AR|=3$．
① 设 $P(m,n)$，求点 $R$ 的坐标（用 $m,n$ 表示）；
② 设 $O$ 为坐标原点，$Q$ 是 $C$ 上的动点，直线 $OR$ 的斜率为直线 $OP$ 的斜率的 $3$ 倍，求 $|PQ|$ 的最大值．
解析
1、根据题意，有\[\begin{cases} \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{10},\\ \sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{2\sqrt 2}3,\end{cases}\implies \begin{cases} a^2=9,\\ b^2=1,\end{cases}\]因此椭圆 $C$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}9+y^2=1$．
2、① 根据题意，有 $A(0,-1)$，设 $R(x,y)$，直线 $APR $ 的斜率为 $ k$，则 $^{[1]}$\[k=\dfrac{y+1}{x}=\dfrac{n+1}{m},\quad (k^2+1)\cdot m\cdot x=3,\]解得 $R\left(\dfrac{3m}{m^2+(n+1)^2},\dfrac{3(n+1)}{m^2+(n+1)^2}-1\right)$．
② 根据第 ① 小题的结果，有\[\dfrac{\dfrac{3(n+1)}{m^2+(n+1)^2}-1}{\dfrac{3m}{m^2+(n+1)^2}}=3\cdot \dfrac nm\iff m^2+(n+4)^2=18,\]于是 $P$ 的轨迹是以 $T(0,-4)$ 为圆心 $3\sqrt 2$ 为半径的圆．设 $Q(x,y)$，则\[|QT|^2=x^2+(y+4)^2=9(1-y^2)+(y+4)^2=-8y^2+8y+25=27-8\left(y-\dfrac 12\right)^2\leqslant 27,\]等号当 $y=\dfrac 12$ 时取得，因此所求最大值为 $\sqrt{27}+3\sqrt 2=3\sqrt 3+3\sqrt 2$．