已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$，过定点 $P(4,4)$ 作椭圆的两条切线，切点分别为 $A,B$（点 $A$ 在第二象限），过 $P$ 的直线交椭圆于 $D,E$ 两点（$P,D,E$ 顺次），过 $D$ 作 $PA$ 的平行线分别交直线 $AB,AE$ 于 $G,F$，求证：$G$ 为 $DF$ 中点．
解析 根据题意，有 $AB:3x+4y-3=0$，$A\left(-1,\dfrac 32\right)$，直线 $PA$ 的斜率为 $\dfrac 12$，以 $A$ 为基准点，设直线 $AD,AE,AB$ 的斜率分别为 $k_1,k_2,k_3$，则 $k_3=-\dfrac 34$，直线 $DE$ 的方程为\[ 4k_1k_2(-x-2y-4)+3(x+2y-4)=(k_1+k_2)(6x-4y),\]直线 $DE$ 过点 $P(4,4)$，于是\[8k_1k_2+k_1+k_2=3,\]设 $DF:y=\dfrac 12x+m$，与 $y=k(x+1)+\dfrac 32$ 联立可得交点横坐标为 $-1+\dfrac{2-m}{\frac 12-k}$，因此只需要证明 $^{[1]}$\[\dfrac{1}{\frac 12-k_1}+\dfrac{1}{\frac 12-k_2}=\dfrac{2}{\frac 12-k_3}\iff \dfrac{1}{2k_1-1}+\dfrac{1}{2k_2-1}=-\dfrac 45,\]而\[LHS=\dfrac{2(k_1+k_2)-2)}{(2k_1-1)(2k_2-1)}=\dfrac{2(k_1+k_2)-2}{4k_1k_2-2(k_1+k_2)+1}=-\dfrac 45,\]命题得证．
$[1]$ 调和线束 $(AE,AD;AB,AP)$ 被作直线 $DF$ 截得调和点列 $(F,D;G,\infty)$，于是 $G$ 是 $DF$ 的中点，其斜率表示即\[\dfrac{1}{k_4-k_1}+\dfrac{1}{k_4-k_2}=\dfrac{2}{k_4-k_3},\]其中 $k_4$ 为直线 $DF$ 的斜率 $\dfrac 12$．