已知双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}3=1$ 的左、右顶点分别为 $A,B$，过定点 $P(-1,2)$ 的直线交双曲线于 $M,N$ 两点，$O$ 为坐标原点，直线 $OP$ 交直线 $BN$ 于点 $C$，求证：直线 $AC,AM$ 的斜率之积为定值．
答案 定值为 $3$．
解析 以 $A$ 为基准点，设直线 $AM,AN,AC,BN$ 的斜率分别为 $k_1,k_2,k_3,k_4$，则由双曲线的垂径定理，有\[k_2k_4=3,\]由 $O$ 为 $AB$ 的中点，而 $OC$ 的斜率为 $k_{OC}=k_{OP}=-2$，可得\[\dfrac{1}{k_3}+\dfrac{1}{k_4}=\dfrac{2}{k_{OC}}\implies \dfrac{1}{k_3}+\dfrac{1}{k_4}=-1\implies k_3=-\dfrac{k_4}{k_4+1}\implies k_3=-\dfrac{3}{3+k_2},\]直线 $MN$ 的方程为\[k_1k_2(x+1)+3(x-1)=(k_1+k_2)y,\]直线 $MN$ 过点 $P(-1,2)$，于是\[k_1+k_2=-3\implies k_1=-3-k_2,\]因此直线 $AC,AM$ 的斜率之积为\[k_1k_3=(-3-k_2)\cdot \left(-\dfrac{3}{3+k_2}\right)=3,\]为定值．