已知椭圆 $\dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}9=1$ 的右、下顶点分别为 $A,B$，$P$ 是椭圆内一动点，且直线 $PA,PB$ 的斜率之积为 $-\dfrac 14$，直线 $AP,BP$ 分别交椭圆于不同于 $A,B$ 的点 $M,N$，求证：$\triangle PMN$ 与 $\triangle PAB$ 的面积相等．
解析 以 $A,B$ 为基准点，设直线 $MA,MB,NA,NB$ 的斜率分别为 $k_1,k_2,k_3,k_4$，则椭圆方程 $x^2+4y^2-36=0$ 即\[x(x-6)+4y(y+3)+2\big((x-6)(y+3)-xy\big)=0,\]于是\[\begin{cases} 1+4k_1k_2+2k_2-2k_1=0,\\ 1+4k_3k_4+2k_4-2k_3=0,\end{cases}\implies \begin{cases} 2k_1=\frac{1+2k_2}{1-2k_2},\\ -2k_4=\frac{1-2k_3}{1+2k_3},\end{cases}\]而 $\triangle PMN$ 与 $\triangle PAB$ 的面积相等等价于 $BM\parallel AN$，于是\[k_1k_4=-\dfrac14\implies \dfrac{1+2k_2}{1-2k_2}=\dfrac{1+2k_3}{1-2k_3}\implies k_2=k_3,\]命题得证．