已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 的下顶点为 $C(0,-1)$，点 $D\left(-\dfrac 85,-\dfrac 35\right)$ 是椭圆上的顶点，点 $P$ 是椭圆上的动点，直线 $PC,PD$ 分别交 $x$ 轴于点 $M,N$，求证：$x$ 轴上存在两定点 $A,B$，使 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{NB}$ 为定值．
答案 存在定点 $A(4,0),B(-4,0)$，使 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{NB}$ 为定值 $-12$．
解析 以 $C,D$ 为基准点，设直线 $PC:x=t_1(y+1)$，直线 $PD:x=t_2\left(y+\dfrac 35\right)-\dfrac 85$，$P(x_0,y_0),M(x_1,0),N(x_2,0)$，则椭圆方程 $5x^2+20y^2-20=0$ 即\[ x(5x+8)+4(y+1)(5y+3)+4\big(x(5y+3)-(5x+8)(y+1)\big)=0,\]于是\[t_1t_2+4+4t_1-4t_2=0,\]进而\[\begin{cases} x_1=t_1,\\ x_2=\frac{3t_2-8}5,\end{cases}\iff \begin{cases} t_1=x_1,\\ t_2=\frac{5x_2+8}3,\end{cases}\]代入可得\[x_1\cdot \dfrac{5x_2+8}3+4+4x_1-4\cdot \dfrac{5x_2+8}3=0\iff (x_1-4)(x_2+4)=-12,\]因此存在定点 $A(4,0),B(-4,0)$，使 $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{NB}$ 为定值 $-12$．