已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 过 $A(2,0)$，$B(0,1)$ 两点．
1、求椭圆 $C$ 的方程及离心率．
2、设 $P$ 为第三象限内一点且在椭圆 $C$ 上，直线 $PA$ 与 $y$ 轴交于点 $M$，直线 $PB$ 与 $x$ 轴交于点 $N$，求证：四边形 $ABNM$ 的面积为定值．
解析
1、根据题意，有 $a=2$，$b=1$，于是椭圆的方程为$$\dfrac{x^2}4+y^2=1,$$其离心率 $e=\dfrac{\sqrt 3}2$．
2、四边形 $ABNM$ 的面积 $S=\dfrac 12\cdot |AN|\cdot |BM|$，设 $P$ 点坐标为 $(2\cos{\theta},\sin\theta)$，可求得 $M$ 点坐标为 $\left(0,\dfrac{\sin\theta}{1-\cos\theta}\right)$，$N$ 点坐标为 $\left(\dfrac{2\cos\theta}{1-\sin\theta},0\right)$，故$$\left|AN\right|\cdot\left|BM\right|=\left|\left(\dfrac{2\cos\theta}{1-\sin\theta}-2\right)\left(\dfrac{\sin\theta}{1-\cos\theta}-1\right)\right|=2\left|\dfrac{\left(\sin\theta+\cos\theta -1\right)^2}{\left(1-\sin\theta\right)\left(1-\cos\theta\right)}\right|=4,$$故四边形 $ABNM$ 的面积 $S=\dfrac 12\cdot |AN|\cdot |BM|=2$ 因此原命题得证．
设 $PA,PB$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$，则椭圆方程 $x^2+4y^2-4=0$ 即\[ x(x-2)+4y(y-1)-2\big((x-2)(y-1)-xy\big)=0,\]因此\[1+4k_1k_2-2k_2+2k_1=0,\]而 $M(0,-2k_1),N\left(-\frac{1}{k_2},0\right)$，因此\[[ABNM]=\dfrac 12\left(1+2k_1\right)\left(2+\frac{1}{k_2}\right)=\dfrac{4k_1k_2+2k_1+2k_2+1}{2k_2}=\dfrac{(2k_2-2k_1-1)+2k_1+2k_2+1}{2k_2}=2,\]为定值，命题得证．