已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，定点 $P(4,0)$，过 $F$ 作直线交抛物线于点 $A,B$，直线 $PA,PB$ 分别交抛物线于不同于 $A,B$ 的点 $C,D$，弦 $AB,CD$ 的中点分别为 $M,N$，则 $\tan\angle MON$ 的最小值为_____．
答案 $\dfrac{\sqrt 2}3$．
解析 设抛物线的参数方程为 $(x,y)=(4t^2,4t)$，点 $A,B,C,D$ 对应的参数分别为 $a,b,c,d$，则根据抛物线的平均性质，有\[\begin{cases} 4ab=-1,\\ 4ac=4bd=-4,\end{cases}\]设直线 $OM$ 的斜率为 $k$，则\[k=\dfrac{a+b}{a^2+b^2}=\dfrac{a+b}{(a+b)^2+\frac 12},\]取值范围是 $\left[-\dfrac{1}{\sqrt 2},\dfrac{1}{\sqrt 2}\right]$，进而直线 $ON$ 的斜率为\[\dfrac{c+d}{c^2+d^2}=\dfrac{\left(-\frac 1a\right)+\left(-\frac 1b\right)}{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}=\dfrac{-ab(a+b)}{a^2+b^2}=\dfrac k4,\]于是\[\tan \angle MON=\dfrac{\left|k-\frac k4\right|}{1+k\cdot \frac k4}=\dfrac{3}{\left|k+\frac 4k\right|}\leqslant \dfrac{\sqrt 2}3,\]等号当 $k=\pm\dfrac{1}{\sqrt 2}$ 时取得，因此所求最小值为 $\dfrac{\sqrt 2}3$．