已知双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}4=1$，$T$ 是直线 $y=x+1$ 上的动点，过 $T$ 作双曲线的两条切线，切点分别为 $P,M$，直线 $TP,TM$ 与直线 $x=-1$ 交于点 $Q,N$，求证：$PN$ 与 $QM$ 的交点在定直线上．
答案 定直线 $y=x+1$ 上．
解析 设 $T(t,t+1)$，则切点弦 $PM$ 所在直线方程为\[tx-\dfrac{(t+1)y}4=1\iff t\left(x-\frac y4\right)-\frac y4-1=0,\]于是直线 $PM$ 过定点 $R(-1,-4)$，双曲线的参数方程为 $(x,y)=\left(\dfrac{1+t^2}{1-t^2},2\cdot \dfrac{2t}{1-^2}\right)$，点 $P,M$ 对应的参数分别为 $a,b$，则直线 $PM$ 的方程为\[ x\cdot \dfrac{1+ab}{1-ab}-\dfrac y2\cdot \dfrac{a+b}{1-ab}=1,\]该直线过点 $R(-1,-4)$，于是\[(-1)\cdot \dfrac{1+ab}{1-ab}-\dfrac {-4}2\cdot \dfrac{a+b}{1-ab}=1\iff a+b=1,\]而直线 $PQ:(1+a^2)x-ay=1-a^2$，于是 $Q\left(-1,-\frac 2a\right)$，进而直线 $MQ$ 的方程为\[(2ab+1-b^2)(x+1)-ay-1=0,\]因此直线 $PN$ 的方程为\[(2ab+1-a^2)(x+1)-by-1=0,\]于是 $PN$ 与 $QM$ 的交点满足\[\big((2ab+1+b^2)-(2ab+1-a^2)\big)(x+1)-(a-b)y=0,\]也即\[(a-b)\big((a+b)(x+1)-y\big)=0,\]因此 $PN$ 与 $QM$ 的交点在定直线 $y=x+1$ 上．