已知抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，过 $F$ 的直线交抛物线于 $A,B$ 两点，$O$ 为坐标原点，且 $OA,OB$ 与直线 $x=1$ 分别交于 $M,N$．
1、求直线 $OA,OB$ 的斜率之积；
2、求证：以 $MN$ 为直径的圆过定点．
解析
1、设抛物线的参数方程为 $(x,y)=(4t^2,4t)$，点 $A,B$ 对应的参数分别为 $a,b$，则根据抛物线的平均性质，有 $4ab=-1$，而直线 $OA,OB$ 的斜率之积为\[\dfrac 1a\cdot \dfrac 1b=-4.\]
2、根据题意，有 $M\left(1,\frac 1a\right),N\left(1,\frac 1b\right)$，于是以 $MN$ 为直径的圆的方程为\[(x-1)(x-1)+\left(y-\frac 1a\right)\left(y-\frac 1b\right)=0\iff (x-1)^2+y^2-4-\left(\dfrac 1a+\dfrac 1b\right)y=0,\]恒过定点 $(3,0),(-1,0)$．