已知双曲线 $\dfrac{x^2}2-y^2=1$ 上定点 $A(2,1)$，$P,Q$ 是双曲线上两点且满足 $AP,AQ$ 的斜率互为相反数．
1、求直线 $PQ$ 的斜率；
2、若 $\tan \angle PAQ=2\sqrt 2$，求 $\triangle PAQ$ 的面积．
解析
1、根据二次曲线上四点共圆的性质可得直线 $PQ$ 的斜率与双曲线在 $A$ 处的切线 $x-y=1$ 的斜率互为相反数，为 $-1$．
2、以 $A$ 为基准点，设直线 $AP,AQ$ 的斜率分别为 $k_1,k_2$（$k_1>1$，$k_2<-1$），则\[\begin{cases} k_1+k_2=0,\\ \dfrac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}=2\sqrt 2,\end{cases}\iff (k_1,k_2)=(\sqrt 2,-\sqrt 2),\]进而直线 $AB$ 的方程为\[-4(x+y-1)+(y+x+1)=0\iff 3x+3y-5=0,\]联立直线方程与双曲线方程，可得\[9x^2-60x+68=0,\]于是所求面积\[[\triangle APQ]=\dfrac 12\cdot |PQ|\cdot d(A,PQ)=\dfrac 12\cdot \dfrac{\sqrt{60^2-4\cdot 9\cdot 68}}{9}\cdot \dfrac{4}{3\sqrt 2}=\dfrac{16\sqrt 2}9.\]