已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$ 的弦 $MN$ 的中点为 $H$，直线 $OH$ 交椭圆于 $P,Q$ 两点，$P,Q,M,N$ 四点共圆，求证：$|MN|<\sqrt{14}$．
解析 根据椭圆的垂径定理，直线 $MN,OH$ 的斜率之积为 $-\dfrac 34$，又 $P,Q,M,N$ 四点共圆，于是直线 $MN,OH$ 的斜率互为相反数，从而直线 $MN$ 的斜率为 $\pm\dfrac{\sqrt 3}2$，又椭圆的斜率固定的弦中直径最长 $^{[1]}$，于是\[|MN|<4\cdot \dfrac{\sqrt{1+\left(\pm\frac{\sqrt 3}2\right)^2}}{\sqrt{1+\frac 43\cdot \left(\pm\frac{\sqrt 3}2\right)}}=\sqrt{14},\]命题得证．
$[1]$ 考虑伸缩变换为圆，则斜率固定的弦的弦长之比固定，进而容易证明．