已知椭圆 $\dfrac{x^2}{12}+\dfrac{y^2}6=1$ 上两点 $A,B$，直线 $AB$ 与 $x$ 轴交于点 $P$，且 $\dfrac{1}{|PA|^2}+\dfrac{1}{|PB|^2}$ 为定值，求出点 $P$ 的坐标以及对应的定值．
答案 $P(\pm 2,0)$，对应的定值为 $\dfrac 12$．
解析 设直线 $AB$ 的参数方程为 $(x,y)=(x_0+mt,y_0+t)$，点 $A,B$ 对应的参数分别为 $t_1,t_2$，与椭圆方程联立可得\[(m^2+2)t^2+2mx_0t+(x_0^2-12)=0,\]于是\[\dfrac{1}{|PA|^2}+\dfrac{1}{|PB|^2}=\dfrac{1}{m^2+1}\left(\dfrac{1}{t_1^2}+\dfrac{1}{t_2^2}\right)=\dfrac{(t_1+t_2)^2-2t_1t_2}{(m^2+1)(t_1t_2)^2}=\dfrac{4m^2x_0^2-2(m^2+2)(x_0^2-12)}{(m^2+1)(x_0^2-12)^2}=\dfrac{2(x_0^2+12)m^2+4(12-x_0^2)}{(x_0^2-12)^2(m^2+1)},\]当且仅当 $2(x_0^2+12)=4(12-x_0^2)$ 时，该代数式为定值 $\dfrac{2(x_0^2+12)}{(x_0^2-12)^2}$，也即 $x_0=\pm 2$，对应的定值为 $\dfrac 12$．