已知双曲线 $x^2-\dfrac{y^2}{3}=1$，$F_1,F_2$ 是其左、右焦点，$M$ 是双曲线上的动点，$MF_1$ 与直线 $x=\dfrac 12$ 交于点 $P$，$MF_2$ 与双曲线交于不同于 $M$ 的另一点 $N$，求证：直线 $PN$ 过定点．
答案 直线 $PN$ 过定点 $\left(\dfrac{14}{13},0\right)$．
解析 设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2),P\left(\frac 12,y_3\right)$，则\[ \dfrac{y_3}{\frac 12-(-2)}=\dfrac{y_1}{x_1-(-2)}\implies y_3=\frac{5y_1}{2(x_1+2)},\]因此直线 $PN$ 的横截距\[ x_0=\dfrac{\frac 12y_2-x_2y_3}{y_2-y_3}=\dfrac{x_1y_2-5x_2y_1+2y_2}{2x_1y_2-5y_1+4y_2},\]而\[\left(\dfrac{x_2y_1-x_1y_2}{y_1-y_2},\dfrac{x_2y_1+x_1y_2}{y_1+y_2}\right)=\left(2,\frac 12\right)\implies \begin{cases} x_2y_1=\frac 54y_1-\frac 34y_2,\\ x_1y_2=-\frac 34y_1+\frac 54y_1,\end{cases}\]于是\[x_0=\dfrac{\left(-\frac 34y_1+\frac 54y_1\right)-5\left(\frac 54y_1-\frac 34y_2\right)+2y_2}{2\left(-\frac 34y_1+\frac 54y_1\right)-5y_1+4y_2}=\dfrac{14}{13},\]因此直线 $PN$ 过定点 $\left(\dfrac{14}{13},0\right)$．