已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$ 上一点 $P$，$F_1,F_2$ 为其左、右焦点，$PF_1,PF_2$ 分别交椭圆于不同于 $P$ 点的点 $A,B$，$BF_1,AF_2$ 交于点 $Q$，求证：直线 $AB,PQ$ 的斜率之积为定值．
答案 定值为 $-\dfrac9{25}$．
解析 设 $P(x_0,y_0),A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),Q(m,n)$，则\[\begin{cases} \left(\frac{x_1y_0-y_1x_0}{y_0-y_1},\frac{x_1y_0+y_1x_0}{y_0+y_1}\right)=(-1,-4),\\ \left(\frac{x_2y_0-y_2x_0}{y_0-y_2},\frac{x_2y_0+y_2x_0}{y_0+y_2}\right)=(1,4),\end{cases}\iff \begin{cases} (x_1,y_1)=\left(\frac{-5x_0-8}{2x_0+5},\frac{-3y_0}{2x_0+5}\right),\\ (x_2,y_2)=\left(\frac{5x_0-8}{2x_0-5},\frac{3y_0}{2x_0-5}\right),\end{cases} \]设 $Q(x_3,x_3)$，则\[\left(\frac{y_3}{x_3-1},\frac{y_3}{x_3+1}\right)=\left(\frac{y_1}{x_1-1},\dfrac{y_2}{x_2+1}\right)=\left(\dfrac{3y_0}{7x_0+13},\dfrac{3y_0}{7x_0-13}\right)\iff (x_3,y_3)=\left(-\frac{7}{13}x_0,-\frac{3}{13}y_0\right),\]因此直线 $AB,PQ$ 的斜率之积为\[\dfrac{y_1-y_2}{x_1-x_2}\cdot \dfrac{y_0-y_3}{x_0-x_3}=\dfrac{3x_0y_0}{5x_0^2-20}\cdot \dfrac{4y_0}{5x_0}=\dfrac{12y_0^2}{25(x_0^2-4)}=\dfrac9{25}.\]
以 $C(-2,0)$ 为基准点，设 $AF_2,BF_1$ 分别与椭圆交于不同于 $A,B$ 的点 $M,N$，设直线 $CP,CA,CB,CM,CN$ 的斜率分别为 $k_0,k_1,k_2,k_3,k_4$．
直线 $PA$ 过 $F_1$，直线 $PB$ 过 $F_2$，可得\[\begin{cases} PA:4k_0k_1(x+2)+3(2-x)=4(k_0+k_1)y,\\ PB:4k_0k_2(x+2)+3(2-x)=4(k_0+k_2)y,\end{cases}\implies \begin{cases} k_0k_1=-\frac 94,\\ k_0k_2=-\frac 14,\end{cases}\]进而\[\begin{cases} PA:3x+(k_0+k_1)y+3=0,\\ PB:x+(k_0+k_2)y-1=0,\end{cases}\]将 $k_1=-\dfrac 94\cdot \dfrac{x_0+2}{y_0}$，$k_2=-\dfrac14\cdot \dfrac{x_0+2}{y_0}$ 代入，利用 $\dfrac{x_0^2}4+\dfrac{y_0^2}3=1$，整理得\[AB:9x_0x+20y_0y+36=0,\]直线 $AB$ 的斜率为 $-\dfrac{9x_0}{20y_0}$．同理，有直线 $AM$ 的方程\[4k_1k_2(x+2)+3(2-x)=4(k_1+k_3)y,\]直线 $AM$ 过点 $F_2$，于是 $k_1k_3=-\frac 14$，且\[AM:x+(k_1+k_3)y-1=0,\]将 $P(x_0,y_0)$ 以及 $k_1=-\dfrac 94\cdot \dfrac{x_0+2}{y_0}$，$k_3=\dfrac19\cdot \dfrac{y_0}{x_0+2}$ 代入，利用 $\dfrac{x_0^2}4+\dfrac{y_0^2}3=1$，整理得\[AF_2:3y_0x-7x_0y-13y-3y_0=0,\]同理\[BF_1:3y_0x-7x_0y+13y+3y_0=0,\]联立直线 $AF_2,BF_1$ 的方程可得 $Q\left(-\frac7{13}x_0,-\frac3{13}y_0\right)$，直线 $PQ$ 的斜率为 $\dfrac{4y_0}{5x_0}$，于是直线 $AB,PQ$ 的斜率之积为定值 $-\dfrac 9{25}$．