已知椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{3}=1$，过定点 $P(1,0)$ 的直线交椭圆于 $A,B$ 两点，动点 $C$ 在直线 $x=4$ 上，直线 $CA,CB,CP$ 的斜率分别是 $k_1,k_2,k_3$，求证：$k_1+k_2=2k_3$．
解析 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(4,t)$，则\[ \left(\frac{x_2y_1-y_2x_1}{y_1-y_2},\frac{x_2y_1+y_2x_1}{y_1+y_2}\right)=(1,4),\]于是\[\begin{cases} y_1(x_2-1)=y_2(x_1-1),\\ y_1(x_2-4)=-y_2(x_1-4),\end{cases}\implies \begin{cases} \frac{y_1}{x_1-4}+\frac{y_2}{x_2-4}=0,\\ \frac{x_1-1}{x_1-4}+\frac{x_2-1}{x_2-4}=0,\end{cases}\]因此\[k_1+k_2-2k_3=\dfrac{y_1-t}{x_1-4}+\dfrac{y_2-t}{x_2-4}-\dfrac{2t}{3}=\left(\dfrac{y_1}{x_1-4}+\dfrac{y_2}{x_2-4}\right)-t\left(\dfrac{1}{x_1-4}+\dfrac{1}{x_2-4}+\dfrac 23\right)=0,\]命题得证．