已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+\dfrac{y^2}3=1$ 上两点 $A,B$，直线 $AB$ 过点 $P(1,0)$，点 $A$ 在直线 $x=4$ 上的投影为点 $C$，求证：直线 $BC$ 过定点．
答案 定点 $\left(\dfrac 52,0\right)$．
解析 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则 $C(4,y_1)$，且\[\dfrac{x_1-1}{x_2-1}=\dfrac{y_1}{y_2}=-\dfrac{\frac 14{x_1}-1}{\frac14{x_2}-1},\]利用合分比定理，可得\[\dfrac{y_1}{y_2}=\dfrac{(x_1-1)+4\left(-\frac 14x_1+1\right)}{(x_2-1)+4\left(\frac14x_2-1\right)}=\dfrac{2\cdot 4-5}{2x_2-5},\]因此直线 $BC$ 过定点 $\left(\dfrac 52,0\right)$．