已知双曲线 $\dfrac{x^2}{4}-\dfrac{y^2}{3}=1$ 上两点 $A(-2,0),B(-4,3)$，点 $P$ 为双曲线上动点，且分别过点 $B,A$ 作平行于 $AP,BP$ 的直线交双曲线于不同于 $A,B$ 的点 $M,N$．
1、求证：存在常数 $\lambda$，使得 $\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=\lambda\overrightarrow{OP}$；
2、求证：$\triangle PMN$ 的面积为定值．
解析
1、设 $P(x_0,y_0),M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，直线 $AP$ 的斜率为 $k$，则\[ \left(\dfrac{y_0}{x_0+2},\dfrac{y_0}{x_0-2}\right)=\left(k,\dfrac {3}{4k}\right)\iff (x_0,y_0)=\left(\dfrac{6+8k^2}{3-4k^2},\dfrac{12k}{3-4k^2}\right),\]而\[\left(\dfrac{y_1-3}{x_1+4},\dfrac{y_1+3}{x_1-4}\right)=\left(k,\dfrac{3}{4k}\right)\iff (x_1,y_1)=\left(\dfrac{12+24k+16k^2}{3-4k^2},\dfrac{9+24k+12k^2}{3-4k^2}\right),\]因此\[(x_1,y_1)=\left(2x_0+2y_0,\frac 32x_0+2y_0\right),\]同理，有\[(x_0,y_0)=\left(2x_2+2y_2,\dfrac 32x_2+2y_2\right)\iff (x_2,y_2)=\left(2x_0-2y_0,-\frac 32x_0+2y_0\right),\]因此 $\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=4\overrightarrow{OP}$，命题得证，且 $\lambda =4$．
2、根据题意，有 $\triangle PMN$ 的面积为\[ \dfrac 12\left|\left(x_0+2y_0\right)\left(-\dfrac 32x_0+y_0\right)-\left(x_0-2y_0\right)\left(\dfrac 32x_0+y_0\right)\right|=\dfrac 12\left|3x_0^2-4y_0^2\right|=6,\]为定值．