已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 的左顶点为 $A$，椭圆上两点 $P,Q$ 关于 $y$ 轴对称，$O$ 为坐标原点，$AB\parallel OP$ 且 $B\ne Q$，求证：$BQ\parallel AP$．
解析
根据题意，有 $A(-2,0)$，设 $P(x_0,y_0),Q(-x_0,y_0)$，由 $AB\parallel OP$ 可设 $B(-2+tx_0,ty_0)$，则\[\dfrac{(-2+tx_0)^2}{4}+(ty_0)^2=1\iff \left(\dfrac{x_0^2}4+y_0^2\right)t^2-x_0t=0\iff t=x_0,\]从而 $B(x_0^2-2,x_0y_0)$，于是\[BQ\parallel AP\iff (x_0^2-2+x_0)y_0-(x_0+2)(x_0y_0-y_0)=0,\]命题得证．
延长 $PO$ 交椭圆于 $R$，则 $Q,R$ 关于 $x$ 轴对称，在伸缩变换 $(x',y')=(x,2y)$ 下，设 $P,Q,R,B$ 的对应点分别为 $P',Q',R',B'$，则弧 $AQ$ 与弧 $AR$ 为等弧，所对圆周角 $\angle AB'Q'=\angle AR'P'$，又 $OP\parallel AB$，于是 $\angle AR'P'=\angle B'AP'$，因此 $\angle AB'Q'=\angle B'AP'$，$B'Q'\parallel A'P'$，回到原题中，有 $BQ\parallel AP$．