已知椭圆 $\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}3=1$，过椭圆第一象限的一点 $A$ 作斜率为 $\dfrac 12,-\dfrac 12$ 的直线分别交椭圆于不同于 $A$ 的点 $M,N$，$P$ 为 $MN$ 中点，$MN,AP$ 分别交 $x$ 轴于 $H,Q$，且 $|HQ|=3$，求点 $A$ 的坐标．
答案 $\left(\dfrac 12,\dfrac{3\sqrt 5}2\right)$．
解析 设 $A(x_0,y_0),M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，则\[\begin{cases} y_1-y_0=\frac 12(x_1-x_0),\\ y_1+y_0=-\frac 32(x_1+x_0),\\ y_2-y_0=-\frac 12(x_2-x_0),\\ y_2+y_0=\frac 32(x_2+x_0),\end{cases}\iff \begin{cases} x_1=-\frac 12x_0-y_0,\\ y_1=-\frac34x_0+\frac 12y_0,\\ x_2=-\frac 12x_0+y_0,\\ y_2=\frac 34x_0+\frac 12y_0,\end{cases}\]因此 $P\left(\frac{x_1+x_2}2,\frac{y_1+y_2}2\right)=\left(-\frac 12x_0,\frac 12y_0\right)$，根据截距坐标公式，有 $Q(-2x_0,0)$，$H\left(-\frac2{x_0},0\right)$，于是\[|HQ|=3\iff \left|\left(-\frac{2}{x_0}\right)-(-2x_0)\right|=3\iff x_0=\pm 2,\pm\dfrac 12,\]注意到 $x_0\in (0,2)$，于是 $x_0=\dfrac12$，点 $A$ 的坐标为 $\left(\dfrac 12,\dfrac{3\sqrt 5}4\right)$．