已知椭圆 $\dfrac{x^2}4+y^2=1$ 上两点 $M,N$，直线 $MN$ 的斜率为 $1$，$P,M$ 关于 $x$ 轴对称，以 $PN$ 为直径的圆与 $x$ 轴交于点 $D,E$，$|OD|\geqslant |OE|$，求 $\dfrac{|OD|}{|OE|}$．
答案 $\dfrac 53$．
解析 设 $M(x_1,y_1),P(x_1,-y_1),N(x_2,y_2),D(m_1,0),E(m_2,0)$，以 $PN$ 为直径的圆的方程为\[(x-x_1)(x-x_2)+(y+y_1)(y-y_2)=0,\]于是 $m_1,m_2$ 是关于 $m$ 的方程\[(m-x_1)(m-x_2)-y_1y_2=0\]的两根，进而\[\frac{\left(m_1+m_2\right)^2}{m_1 m_2}=\frac{\left(x_1+x_2\right)^2}{x_1 x_2-y_1 y_2},\]而\[ \frac{x_1^2}{4}+y_1^2=\frac{x_2^2}{4}+y_2^2 \implies \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=-\frac{1}{4} \cdot \frac{x_1+x_2}{y_1+y_2} \] 而直线 $MN$ 的斜率为 $1$，于是 \[\begin{cases} y_1-y_2=x_1-x_2,\\ y_1+y_2=-\frac{1}{4}\left(x_1+x_2\right),\end{cases}\implies \begin{cases} y_1=\frac{3}{8} x_1-\frac{5}{8} x_2, \\ y_2=\frac{3}{8} x_2-\frac{5}{8} x_1,\end{cases}\]因此\[ \begin{split} x_1 x_2-y_1 y_2&=x_1 x_2-\left(\frac{3}{8} x_1-\frac{5}{8} x_2\right)\left(\frac{3}{8} x_2-\frac{5}{8} x_1\right) \\ & =\frac{15}{64}\left(x_1^2+x_2^2\right)+\frac{15}{32} x_1 x_2\\ &=\frac{15}{64}\left(x_1+x_2\right)^2,\end{split}\]所以\[\frac{\left(m_1+m_2\right)^2}{m_1 m_2}=\frac{64}{15},\]解得 $\dfrac{|OD|}{|OE|}=\dfrac 53$．
备注 设 $MN$ 与 $x$ 轴交于点 $Q$，则 $PQ$ 的斜率为 $-1$，因此 $Q\left(\frac{x_2y_1-x_1y_2}{y_1-y_2},0\right)$ 为 $D,E$ 中的一点，将\[\begin{cases} y_1=\frac{3}{8} x_1-\frac{5}{8} x_2, \\ y_2=\frac{3}{8} x_2-\frac{5}{8} x_1,\end{cases}\]代入，可得\[\frac{x_2y_1-x_1y_2}{y_1-y_2}=\dfrac 58(x_1+x_2),\]而\[m_1+m_2=x_1+x_2,\]以下略．