长度为 $n$（$n\in\mathbb N^{\ast}$）的线段上每隔间距 $1$ 有一个点，共 $n+1$ 个点（包括线段端点），以这些点为端点构成的线段条数为_____；这些线段长度的总和为_____．
答案 $\dfrac12n(n+1)$；$\dfrac16n(n+1)(n+2)$．
解析 以这些点为端点构成的线段条数为 $\dbinom{n+1}2=\dfrac{n(n+1)}2$；这些线段按长度 $k=1,2,\cdots,n+1$ 分类，长度的总和为\[\begin{split} \sum_{k=1}^{n+1}\big(k\cdot (n+1-k)\big)&=(n+1)\sum_{k=1}^{n+1}k-\sum_{k=1}^{n+1}k^2\\ &=(n+1)\cdot \dfrac{(n+1)(n+2)}2-\dfrac 16(n+1)(n+2)(2n+3)\\&=\dfrac 16n(n+1)(n+2).\end{split}\]
备注 注意到 $\dfrac 16n(n+1)(n+2)=\dbinom{n+2}3$，可以构造映射：从等间距（间距为 $1$）的 $n+2$ 个点（编号分别为 $0,1,\cdots,n+1$）中任选 $3$ 个，从左到右记为 $A,B,C$，则当 $B$ 的位置确定为 $k$ 时，$A$ 的可能位置数为 $k$，$C$ 的可能位置数为 $(n+1-k)$，于是所求线段长度的总和为 $\dbinom{n+2}3$．
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