已知函数 $f(x)=a\ln (x+1)-x \mathrm e^{x+1}$．
1、当 $a<0$ 时，求 $f(x)$ 的单调区间；
2、若函数 $f(x)$ 存在正零点 $x_0$，
① 求 $a$ 的取值范围；
② 记 $x_1$ 为 $f(x)$ 的极值点，证明：$x_0<3 x_1$．
解析
1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=\dfrac{a-(x+1)^2\mathrm e^{x+1}}{x+1},\]于是当 $a<0$ 时，函数 $f(x)$ 的单调递减区间是 $(-1,+\infty)$，没有单调递增区间．
2、① 根据题意，有 $f(0)=0$，设 $g(x)=a-(x+1)^2\mathrm e^{x+1}$，则 $g(x)$ 在 $x\in(-1,+\infty)$ 上单调递减且 $g(0)=a-\mathrm e$，于是当 $a\leqslant \mathrm e$ 时，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减，从而 $f(x)<f(0)=0$，不符合题意； 当 $a>\mathrm e$ 时，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上先递增后递减，且当 $x\to +\infty$ 时，有 $f(x)\to +\infty$，因此函数 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上有零点，符合题意． 综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $(\mathrm e,+\infty)$．
② 根据 ① 的结果，有\[f'(x_1)=f(x_0)=0\implies a=(x_1+1)^2\mathrm e^{x_1+1}=\dfrac{x_0\mathrm e^{x_0+1}}{\ln (x_0+1)},\]于是\[(x_1+1)^2\mathrm e^{x_1+1}>\mathrm e^{x_0+1}\implies (x_1+1)^2>\mathrm e^{x_0-x_1}\implies 2\ln(x_1+1)>(x_0-x_1),\]于是\[x_0<x_1+2\ln(x_1+1)<x_1+2x_1=3x_1,\]命题得证．