设函数 $f(x)=\dfrac x{1+x}-\ln (1+x)$，$g(x)=\ln (1+x)-b x$．
1、求函数 $f(x)$ 在 $(1,f(1))$ 处的切线方程；
2、是否存在实数 $b$，使得关于 $x$ 的不等式 $g(x)<0$ 在 $(0,+\infty)$ 上恒成立？若存在，求出 $b$ 的取值范围；若不存在，说明理由；
3、证明：不等式 $\dfrac 1 n+\ln\dfrac n {\mathrm e}<\displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac k{k^2+1}\leqslant\dfrac 1 2+\ln n$．
解析
1、函数 $f(x)$ 的导函数\[f'(x)=-\dfrac{x}{(1+x)^2},\]于是 $f(x)$ 在 $(1,f(1))$ 处的切线方程为\[y=f(1)+f'(x)(x-1)\iff y=\left(\dfrac 12-\ln 2\right)+\left(-\dfrac 14\right)(x-1),\]也即 $y=-\dfrac 14x+\dfrac 34-\ln 2$．
2、注意到 $g(0)=0$，而 $g(x)$ 的导函数\[g'(x)=\dfrac{1}{1+x}-b,\]于是 $g'(0)=1-b$，讨论分界点为 $b=1$．
情形一 $b<1$．此时在区间 $x\in\left(0,\max\left\{\dfrac1b-1,1\right\}\right)$ 上，有 $g'(x)>0$，于是在该区间上有 $g(x)>g(0)=0$，不符合题意；
情二 $b\geqslant 1$．此时在区间 $x\in(0,+\infty)$ 上，有 $g'(x)<0$，于是在该区间上有 $g(x)<g(0)=0$，符合题意．
综上所述，实数 $b$ 的取值范围是 $[1,+\infty)$．
3、当 $n=1$ 时，题中不等式即 $0<\dfrac 12\leqslant \dfrac 12$，不等式成立； 当 $n\geqslant 2$ 时，分析通项，只需要证明\[ \left(\dfrac 1n+\ln\dfrac n{\mathrm e}\right)-\left(\dfrac 1{n-1}+\ln\dfrac {n-1}{\mathrm e}\right)<\dfrac n{n^2+1}\leqslant \left(\dfrac 12+\ln n\right)-\left(\dfrac 12+\ln(n-1)\right),\]也即\[\ln\dfrac{n}{n-1}-\dfrac{1}{n(n-1)}<\dfrac{n}{n^2+1}\leqslant \ln\dfrac{n}{n-1},\]也即\[\dfrac{n}{n^2+1}\leqslant \ln\dfrac{n}{n-1}<\dfrac{n}{n^2+1}+\dfrac{1}{n(n-1)},\]根据对数的进阶放缩，有\[\dfrac{2}{2n-1}=\dfrac{2\left(\dfrac{n}{n-1}-1\right)}{\dfrac{n}{n-1}+1}<\ln\dfrac{n}{n-1}<\dfrac 12\left(\dfrac{n}{n-1}-\dfrac{n-1}{n}\right)=\dfrac{2n-1}{2n(n-1)},\]因此只需要证明\[\dfrac{2}{2n-1}\geqslant \dfrac{n}{n^2+1}\impliedby 2n^2+2\geqslant 2n^2-n,\]以及\[\dfrac{2n-1}{2n(n-1)}\leqslant \dfrac{n}{n^2+1}+\dfrac{1}{n(n-1)}\impliedby \dfrac{2n-3}{2n(n-1)}\leqslant \dfrac{n}{n^2+1}\impliedby 2n^3-3n^2+2n-3\leqslant 2n^3-2n^2,\]于是题中不等式得证．