已知椭圆 $C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$），过右焦点 $F$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于 $A,B$ 两点，过点 $F$ 与 $l$ 垂直的直线交 $C$ 于 $D,E$ 两点，其中 $B,D$ 在 $x$ 轴上方，$M,N$ 分别为 $AB,DE$ 的中点．当 $l\perp x$ 轴时，$|AB|=\sqrt 2$，椭圆 $C$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt 2}2$．
1、求椭圆 $C$ 的标准方程；
2、证明：直线 $MN$ 过定点，并求定点坐标；
3、设 $G$ 为直线 $AE$ 与直线 $BD$ 的交点，$\triangle GMN$ 面积为 $\dfrac 9{20}$，求直线 $AB$ 的方程．
解析
1、当 $l\perp x$ 轴时，$AB$ 为椭圆的通径，进而有\[\begin{cases} \dfrac{2b^2}a=\sqrt 2,\\ \sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}=\dfrac{\sqrt 2}2,\end{cases}\implies \begin{cases} a^2=2,\\ b^2=1,\end{cases}\]因此椭圆 $C$ 的标准方程为 $\dfrac{x^2}2+y^2=1$．
2、设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),D(x_3,y_3),E(x_4,y_4),M(m_1,n_1),N(m_2,n_2)$，直线 $AB:x=my+1$，与椭圆 $C$ 的方程联立，可得\[(m^2+2)y^2+2my-1=0,\]于是\[n_1=\dfrac{y_1+y_2}2=\dfrac{-m}{m^2+2},\quad m_1=mn_1+1=\dfrac{2}{m^2+2},\]进而\[n_2=\dfrac{-\left(-\frac 1m\right)}{\left(-\frac 1m\right)^2+2}=\dfrac{m}{2m^2+1},\quad m_2=\dfrac{2}{\left(-\frac 1m\right)^2+2}=\dfrac{2m^2}{2m^2+1},\]因此直线 $MN$ 的横截距为\[\dfrac{m_1n_2-m_2n_1}{n_2-n_1}=\dfrac{\dfrac{2}{m^2+2}\cdot \dfrac{m}{2m^2+1}-\dfrac{m^2}{2m^2+1}\cdot\dfrac{-m}{m^2+2} }{\dfrac{m}{2m^2+1}-\dfrac{-m}{m^2+2}}=\dfrac23,\]所以直线 $MN$ 过定点 $\left(\dfrac 23,0\right)$．
3、根据题意，有\[\begin{split} [\triangle GMN]&=\dfrac12\left|\overrightarrow{GM}\times \overrightarrow{GN}\right|\\ &=\dfrac12\left|\dfrac12\left(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}\right)\times \dfrac 12\left(\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GE}\right)\right|\\ &=\dfrac 18\left|\overrightarrow{GA}\times\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{GB}\times\overrightarrow{GE}\right|\\ &=\dfrac14[ABDE]\\ &=\dfrac 18\cdot |AB|\cdot |DE|,\end{split}\]设直线 $AB$ 的倾斜角为 $\theta$，则根据焦点弦长公式，有\[[\triangle GMN]=\dfrac 9{20}\implies |AB|\cdot |CD|=\dfrac{18}5\implies \dfrac{2ab^2}{b^2+c^2\sin^2\theta}\cdot \dfrac{2ab^2}{b^2+c^2\cos^2\theta}=\dfrac{18}5,\]即\[(1+\sin^2\theta)(1+\cos^2\theta)=\dfrac{20}9\iff \sin^2\theta=\dfrac 13~\text{或}~\dfrac 23,\]于是直线 $AB$ 的方程为 $y=\pm\sqrt 2(x-1)$ 或 $y=\pm\dfrac{\sqrt 2}2(x-1)$．