已知双曲线 C:x2−y224=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,P 为双曲线 C 第一象限上一点,∠F1PF2 的角平分线为 l,过点 O 作 PF2 的平行线,分别与 PF1,l 交于 M,N 两点,若 |MN|=23|PF2|,则 △PF1F2 的面积为( )
A.20
B.12
C.24
D.10
答案 C.
解析 如图,由 PN 平分 ∠F1PF2 以及 MN∥PF2 可得∠MPN=∠NPF2=∠MNP⟹|MN|=|MP|,
设 |PF2|=6m,则 |MN|=4m,于是|MP|=|MN|=4m,|MF1|=|MP|=4m,
从而由 |PF1|−|PF2|=2,可得 2m=2,于是 m=1,进而 |PF1|=8,|PF2|=6,|F1F2|=10,△PF1F2 的面积为 24.