设双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左右焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_1$ 的直线分别交双曲线的左、右两支于 $M,N$．若以 $MN$ 为直径的圆经过右焦点 $F_2$，且 $\left|MF_2\right|=\left|NF_2\right|$，则双曲线的离心率为（ ）
A．$\sqrt 6$
B．$\sqrt 5$
C．$\sqrt 3$
D．$\sqrt 2$
答案 D．
解析 不妨设 $a=1$，双曲线的离心率为 $e$，设 $|AF_2|=|BF_2|=m$，则 $|BF_1|=m-2$，$|AF_1|=m+2$，$|F_1F_2|=2e$，取 $AB$ 的中点 $M$，则 $|MF_1|=m$．
在 ${\rm Rt}\triangle F_2MF_1$ 中，由 $\angle MF_1F_2=\dfrac{\pi}6$，可得 $|F_1F_2|=\dfrac2{\sqrt 3}m$，$|F_2M|=\dfrac{m}{\sqrt 3}$，进而在 ${\rm Rt}\triangle F_2MA$ 中可得\[|AF_2|^2=|AM|^2+|MF_2|^2\iff m^2=4+\dfrac{m^2}3\iff m=\sqrt 6,\]于是所求离心率\[e=\dfrac{|F_1F_2|}2=\dfrac{m}{\sqrt 3}=\sqrt 2.\]