已知双曲线 $C=\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_1$ 作直线分别交双曲线的左、右两支于 $M,N$ 两点，满足 $\overrightarrow{NF_2}=2\overrightarrow{NP}$，且 $\overrightarrow{MP}\cdot\left(\overrightarrow{MF_2}-\overrightarrow{MN}\right)=0$，$\angle F_1 NF_2=\dfrac{\pi}3$，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为（ ）
A．$y=\pm\sqrt 6 x$
B．$y=\pm\sqrt 7 x$
C．$y=\pm 2\sqrt 2 x$
D．$y=\pm 3 x$
答案 A．
解析 根据题意，由 $\overrightarrow{NF_2}=2\overrightarrow{NP}$，且 $\overrightarrow{MP}\cdot\left(\overrightarrow{MF_2}-\overrightarrow{MN}\right)=0$，$\angle F_1 NF_2=\dfrac{\pi}3$ 可得 $P$ 为 $NF_2$ 的中点，且 $MP\perp F_1F_2$，进而 $\triangle NMF_2$ 是等边三角形，如图．
设 $\triangle NMF_2$ 的边长为 $2$，则\[|MN|=|MF_2|=|NF_2|=2\implies 2a=|NF_1|-|NF_2|=|MF_1|=|MF_2|-2a=2-2a,\]于是 $2a=1$，于是 $|NF_1|=3$，$|NF_2|=2$，根据余弦定理，可得\[|F_1F_2|=\sqrt{|NF_1|^2+|NF_2|^2-2\cdot |NF_1|\cdot |NF_2|\cdot \cos\angle F_1NF_2}=\sqrt 7,\]因此 $2b=\sqrt 6$，进而所求渐近线方程为 $y=\pm 6x$．