在不断发展的过程中，我国在兼顾创新创造的同时，也在强调已有资源的重复利用，废弃资源的合理使用，如土地资源的再利用是其中的重要一环．为了积极响应国家号召，某地计划将如图所示的四边形荒地 $ABCD$ 改造为绿化公园，并拟计划修建主干路 $AC$ 与 $BD$．为更好的规划建设，利用无人机对该地区俯视图进行角度勘探，在勘探简化图中，$AD\perp AC$，$AB\perp BC$，$AC$ 平分 $\angle BCD$，$BD=CD$，则 $\cos\angle ACD=$ （ ）
A．$\dfrac{\sqrt 6}3$
B．$\dfrac{2\sqrt 2}9$
C．$\dfrac{2\sqrt 2}3$
D．$\dfrac{\sqrt 3}3$
答案 A．
解析 设 $\angle ACD=\theta$，$CD=1$，则\[AC=\cos\theta,\quad BC=\cos^2\theta,\]于是在 $\triangle BCD$ 中应用余弦定理，有\[BD^2=BC^2+CD^2-2\cdot BC\cdot CD\cdot \cos\angle BCD=\cos^4\theta+1-2\cos(2\theta)\cos^2\theta,\]又 $BD=CD=1$，从而\[\cos^4\theta+1-2\cos(2\theta)\cos^2\theta=1\iff \cos\theta=\dfrac{\sqrt 3}6.\]