每日一题[3788]蛋中心脏

2025年1月湖北省武汉市高三数学调研考试 #11

数学中有许多形状优美的曲线，如图，曲线 $E: x^2+(y-|x|)^2=1$ 与 $x$ 轴交于 $A,B$ 两点，与 $y$ 轴交于 $C,D$ 两点，点 $P$ 是 $E$ 上一个动点，则（       ）

A．点 $(1,2)$ 在 $E$ 上

B．$\triangle PAB$ 面积的最大值为 $1$

C．曲线 $E$ 恰好经过 $3$ 个整点（即横，纵坐标均为整数的点）

D．$|PC|+|PD|\leqslant 2\sqrt 3$

答案    BD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，$(x,y)=(1,2)$ 不满足曲线方程，因此 $(1,2)$ 不在 $E$ 上，选项错误；

对于选项 $\boxed{B}$，在曲线方程中令 $y=0$，可解得 $x=\pm\dfrac{\sqrt 2}2$，于是 $|AB|=\sqrt 2$，而由曲线方程可得

$$y=|x|\pm\sqrt{1-x^2}\leqslant |x|+\sqrt{1-x^2}\leqslant \sqrt 2\cdot \sqrt{|x|^2+(1-x^2)}=\sqrt 2,$$ 等号当 $x=\pm\dfrac{\sqrt 2}2$ 时取得，因此曲线上的点到 $AB$ 的距离最大值为 $\sqrt 2$，进而 $\triangle PAB$ 的面积的最大值为 $1$，选项正确；

对于选项 $\boxed{C}$，曲线 $E$ 关于 $y$ 轴对称，且与 $y$ 轴的公共点为 $(0,\pm 1)$，因此其上的整点 $^{[1]}$ 为偶数个，选项错误；

对于选项 $\boxed{D}$，根据对选项 $\boxed{C}$ 的分析，有 $C,D$ 的坐标为 $(0,\pm 1)$，到 $C,D$ 的距离之和为 $2\sqrt 3$ 的点的轨迹是椭圆 $\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{y^2}{3}=1$，而

$$\left(|x|+\sqrt{1-x^2}\right)^2\leqslant 3\left(1-\dfrac {x^2}2\right)\impliedby 2x\sqrt{1-x^2}+\dfrac 32x^2\leqslant 2\impliedby \begin{cases} x\sqrt{1-x^2}\leqslant \frac 12,\\ x^2\leqslant 1,\end{cases}$$ 选项正确；

综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．