每日一题[3787]零点重合

2025年1月湖北省武汉市高三数学调研考试 #8

设函数 $f(x)=\left(\mathrm e^x-m\right)\ln (x+n)$，若 $f(x)\geqslant 0$，则 $m+n$ 的最小值为（       ）

A．$\dfrac 1 4$

B．$\dfrac 1 2$

C．$1$

D．$2$

答案    D．

解析    根据题意，单调递增函数 $y=\mathrm e^x-m$ 和 $y=\ln (x+n)$ 的零点重合，也即 $$\ln m=-n+1\implies n=-\ln m+1,$$ 于是 $$m+n=m+(-\ln m+1)\geqslant 2,$$ 等号当 $m=1$（此时 $n=1$）时取得，因此所求最小值为 $2$．