每日一题[3786]相交直线定义

2025年1月湖北省武汉市高三数学调研考试 #7

设双曲线 $C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0$，$b>0$）的左、右焦点分别为 $F_1, F_2$，点 $P$ 在双曲线 $C$ 上，过点 $P$ 作 $C$ 的两条渐近线的垂线，垂足分别为 $D,E$，若 $\angle F_1 PF_2=120^{\circ}$，且 $\triangle PF_1 F_2$ 的面积为 $\sqrt 3|PD|\cdot |PE|$，则双曲线两条渐近线的斜率为（       ）

A．$\pm\dfrac{\sqrt 3}3$

B．$\pm 1$

C．$\pm\sqrt 2$

D．$\pm\sqrt 3$

答案    C．

解析    根据双曲线的焦点三角形面积以及相交直线定义，有

$$\begin{cases} [\triangle PF_1F_2]=b^2\cot \dfrac 12\angle F_1PF_2,\\ |PD|\cdot |PE|=\dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2},\end{cases}$$ 于是由 $\triangle PF_1 F_2$ 的面积为 $\sqrt 3|PD|\cdot |PE|$ 可得 $$b^2\cot60^\circ=\sqrt 3\cdot \dfrac{a^2b^2}{a^2+b^2}\iff \dfrac{b^2}{a^2}=2,$$ 于是双曲线两条渐近线的斜率为 $\pm\sqrt 2$．