每日一题[3775]最值与放缩

2025年4月湖北省武汉市高三数学调研考试 #16

已知函数 $f(x)=\mathrm e^x-\dfrac{\ln x}x+\dfrac a x-1$．

1、若在 $(1,f(1))$ 处的切线斜率为 $-1$，求 $a$；

2、若 $f(x)\geqslant 0$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围．

解析

1、函数 $f(x)$ 的导函数为 $$f'(x)=\mathrm e^x+\dfrac{\ln x-(1+a)}{x^2},$$ 于是 $$f'(1)=-1\iff \mathrm e-(1+a)=-1\iff a=\mathrm e.$$

2、根据题意，有 $$f(x)\geqslant 0\iff a\geqslant x+\ln x-x\mathrm e^x\iff a\geqslant \ln \left(x\mathrm e^x\right)-x\mathrm e^x,$$ 设不等式右侧为函数 $g(x)$，则 $g(x)$ 的最大值为 $-1$，当 $x\mathrm e^x=1$ 时取得，因此实数 $a$ 的取值范围是 $[-1,+\infty)$．