每日一题[3773]曲线与方程

2025年4月湖北省武汉市高三数学调研考试 #11

已知曲线 $C:\sin (x+2 y)=2 x-y$，$P\left(x_0,y_0\right)$ 为曲线 $C$ 上任一点，则下列说法中正确的有（       ）

A．曲线 $C$ 与直线 $y=x+1$ 恰有四个公共点

B．曲线 $C$ 与直线 $y=2 x-1$ 相切

C．$y_0$ 是关于 $x_0$ 的函数

D．$x_0$ 是关于 $y_0$ 的函数

答案    BD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，联立曲线 $C$ 与直线方程，可得

$$\sin\big(x+2(x+1)\big)=2x-(x+1)\iff \sin(3x+2)=x-1,$$ 因此曲线 $C$ 与直线 $y=x+1$ 的公共点个数，即函数 $y=\sin x$ 与直线 $y=\dfrac 13x-\dfrac 53$ 的公共点个数，而 $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c}\hline x&(-\infty,0)&[0,\pi]&\left(\pi,\frac{3\pi}2\right)&\left[\frac{3\pi}2,2\pi\right]&\left(2\pi,8\right]&(8,+\infty)\\ \hline y=\sin x& y\in [-1,1]&y\geqslant 0&0\searrow -1&-1\nearrow 1~\text{且下凸}&0\nearrow \sin 8~\text{且上凸}&y\in[-1,1]\\ \hline y=\frac 13x-\frac 53&y<-1&y<0&\frac{\pi-5}3\nearrow\frac{3\pi-10}6&\frac{3\pi-10}6\nearrow\frac{2\pi-5}3&\frac{2\pi-5}3\nearrow 1&y>1\\ \hline \text{公共点个数}&0&0&1&0&2&0\\ \hline \end{array}$$ 因此曲线 $C$ 与直线 $y=x+1$ 的公共点个数为 $3$，选项 $\boxed{A}$ 错误；

对于选项 $\boxed{B}$，联立曲线 $C$ 与直线方程，可得

$$\sin (5x-2)=1,$$ 而对曲线 $C$ 方程两边取关于 $x$ 的导数，有 $$\cos(x+2y)\cdot(1+2y')=2-y',$$ 将 $y_0=2x_0-1$ 代入可得曲线 $C$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的切线斜率为 $2$，因此选项 $\boxed{B }$ 正确；

对于选项 $\boxed{C}$ $\boxed{D}$，设 $x+2y= t$，则 $2x-y=\sin t$，从而

$$x=\dfrac{t+2\sin t}{5},\quad y=\dfrac{2t-\sin t}{5},$$ 进而 $$x'_t=\dfrac{1+2\cos t}5,\quad y'_t=\dfrac{2-\cos t}5,$$ 因此 $x(t)$ 不是关于 $t$ 的单调函数，而 $y(t)$ 是关于 $t$ 的单调函数，从而给定 $x_0$ 时，对应的 $t_0$ 不唯一，进而 $y_0$ 不唯一；反之，给定 $y_0$ 时，对应的 $t_0$ 唯一，进而 $x_0$ 唯一，所以选项 $\boxed{C}$ 错误选项 $\boxed{D}$ 正确．

综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{D}$．