每日一题[3761]集装箱

2025年2月清华大学THUSSAT测试数学 #14

给定有限个正整数满足条件 $T$：每个数都不大于 $7$ 且总和 $S=430$，现将这些数按下列要求分成 $M$ 组，每组数之和不超过 $21$，规定第 $1$ 组先选择数字，使得选择的数字之和尽可能的大，记和为 $S_1$，第 $2$ 组数字在余下的数中选择，使得选择数字之和尽可能的大，记和为 $S_2$，如此继续下去 $\cdots\cdots$，设第 $i$ 组数字之和为 $S_i$，其中 $i\in\{1,2,\cdots,M\}$，对任意满足条件 $T$ 的有限个正整数，则 $M$ 的最大值为_____．

答案    $24$．

解析    即有一批总重 $430$ 的货物，单件重均为正整数且不超过 $7$，问至少需要多少个限重 $21$ 的集装箱可以确保装完． 考虑 $430=71\cdot 6+4$，此时需要 $24$ 个集装箱，其中 $23$ 个装 $(6+6+6)$，剩下的一个装 $(6+6+4)$． 若 $M=25$，设 $25$ 个集装箱剩余的限重（简称余重）从小到大排列为 $r_1,r_2,\cdots,r_{24},r_{25}$，则 $$r_1+r_2+\cdots+r_{24}+r_{25}=25\cdot 21-430=95,$$ 而 $r_{25}\leqslant 20$，于是 $r_4\geqslant 4$，考虑第 $24$ 箱，必然装有重 $5$ 的货物，且按规则剩下的货物均重 $5$，而重 $5$ 的货物不可能多于 $2$ 件（否则应该装 $(5+5+5+6)$），这样重 $5$ 的货物恰有 $2$ 件，其余的货物至多有 $70$ 件，而这 $72$ 件货物至多只需要 $24$ 个集装箱，矛盾． 综上所述，$M$ 的最大值为 $24$．