每日一题[3760]极值点分布

2025年2月清华大学THUSSAT测试数学 #13

已知函数 $f(x)=x^3+a x^2+b$，$a,b\in\mathbb R$．若 $x\in[0,1]$ 时，函数 $f(x)$ 有最大值为 $1$，最小值为 $-1$，则满足条件的 $(a,b)=$ _____．

答案    $(1,-1)$ 或 $(-3,1)$．

解析    函数 $f(x)$ 的导函数

$$f'(x)=x(3x+2a),$$ 当 $a=0$ 时不符合题意，于是函数 $f(x)$ 有两个极值点，对应 $P(0,b)$ 以及 $Q(\left(-\dfrac{2a}3,\dfrac{4a^3}{27}+b\right)$．

情形一     $a>0$．此时函数 $f(x)$ 在 $x\in[0,1]$ 上单调递增，有

$$\begin{cases} f(0)=-1,\\ f(1)=1,\end{cases}\implies \begin{cases} b=-1,\\ 1+a+b=1,\end{cases}\implies (a,b)=(1,-1).$$

情形二     $a<0$．此时函数 $f(x)$ 在 $x\in [0,1]$ 上或者单调递减，或者先减后增，于是

$$\begin{cases} f(0)=1,\\ f(-1)=-1,\end{cases}~\text{或}~\begin{cases} \max\{f(0),f(1)\}=1,\\ \dfrac{4a^3}{27}+b=-1,\end{cases}\iff (a,b)=(-3,1).$$

综上所述，满足条件的 $(a,b)$ 为 $(1,-1)$ 或 $(-3,1)$．