2025年2月清华大学THUSSAT测试数学 #11
已知曲线 $C:(x-y)^2+\lambda(y-1)^2=5$，$\lambda\in\mathbb R$，则下列选项正确的是（ ）
A．存在 $\lambda\in\mathbb R$，使得曲线 $C$ 为圆
B．对任意 $\lambda\in\mathbb R$，曲线 $C$ 都关于点 $(1,1)$ 中心对称
C．当 $\lambda=1$ 时，$x\in[1-\sqrt{10},1+\sqrt{10}]$
D．当 $\lambda=-1$ 时，直线 $y=\dfrac{x+1}2$ 是曲线 $C$ 的一条渐近线
答案 BCD．
解析 对于选项 $\boxed{A}$，曲线 $C$ 的方程中 $xy$ 项系数一定不为 $0$，因此不可能表示圆，选项错误；
对于选项 $\boxed{B}$，设 $f(x,y)=(x-y)^2+\lambda(y-1)^2-5$，则\[f(2-x,2-y)=((2-x)-(2-y))^2+\lambda((2-y)-1)^2-5=(x-y)^2+\lambda(y-1)^2=f(x,y),\]于是选项正确；
对于选项 $\boxed{C}$，当 $\lambda=1$ 时，有\[ 2y^2-2(x+1)y+(x^2-4)=0,\]视其为关于 $y$ 的二次方程，则\[\Delta\geqslant 0\iff (x+1)^4-2(x^2-4)\geqslant 0\iff 1-\sqrt{10}\leqslant x\leqslant 1+\sqrt{10},\]选项正确；
对于选项 $\boxed{D}$，当 $\lambda=-1$ 时，曲线 $C$ 的渐近线为\[x-y=\pm(y-1)\iff y=\dfrac{x+1}2~\text{或}~x=1,\]选项正确；
综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．