每日一题[3759]曲线与方程

2025年2月清华大学THUSSAT测试数学 #11

已知曲线 $C:(x-y)^2+\lambda(y-1)^2=5$，$\lambda\in\mathbb R$，则下列选项正确的是（       ）

A．存在 $\lambda\in\mathbb R$，使得曲线 $C$ 为圆

B．对任意 $\lambda\in\mathbb R$，曲线 $C$ 都关于点 $(1,1)$ 中心对称

C．当 $\lambda=1$ 时，$x\in[1-\sqrt{10},1+\sqrt{10}]$

D．当 $\lambda=-1$ 时，直线 $y=\dfrac{x+1}2$ 是曲线 $C$ 的一条渐近线

答案    BCD．

解析    对于选项 $\boxed{A}$，曲线 $C$ 的方程中 $xy$ 项系数一定不为 $0$，因此不可能表示圆，选项错误；

对于选项 $\boxed{B}$，设 $f(x,y)=(x-y)^2+\lambda(y-1)^2-5$，则

$$f(2-x,2-y)=((2-x)-(2-y))^2+\lambda((2-y)-1)^2-5=(x-y)^2+\lambda(y-1)^2=f(x,y),$$ 于是选项正确；

对于选项 $\boxed{C}$，当 $\lambda=1$ 时，有

$$2y^2-2(x+1)y+(x^2-4)=0,$$ 视其为关于 $y$ 的二次方程，则 $$\Delta\geqslant 0\iff (x+1)^4-2(x^2-4)\geqslant 0\iff 1-\sqrt{10}\leqslant x\leqslant 1+\sqrt{10},$$ 选项正确；

对于选项 $\boxed{D}$，当 $\lambda=-1$ 时，曲线 $C$ 的渐近线为

$$x-y=\pm(y-1)\iff y=\dfrac{x+1}2~\text{或}~x=1,$$ 选项正确；

综上所述，正确的选项为 $\boxed{B}$ $\boxed{C}$ $\boxed{D}$．