2025年2月湖北省武汉市高三数学调研考试 #1 8
有 $A,B,C,D,E,F,G,H$ 八名运动员参加乒乓球赛事，该赛事采用预赛，半决赛和决赛三轮淘汰制决定最后的冠军．八名运动员在比赛开始前抽签随机决定各自的位置编号，已知 $B\sim H$ 这七名运动员互相对决时彼此间的获胜概率均为 $\dfrac 1 2$，$ A$ 运动员与其它运动员对决时，$A$ 获胜的概率为 $\dfrac 2 3$，每场对决没有平局，且结果相互独立．
1、求这八名运动员各自获得冠军的概率；
2、求 $B$ 与 $A$ 对决过且最后获得冠军的概率；
3、求 $B$ 与 $C$ 对决过且最后获得冠军的概率．
解析
1、$A$ 获得冠军的概率为 $\left(\dfrac 23\right)^2=\dfrac 8{27}$；$B\sim H$ 获得冠军的概率为 $\dfrac{1-\dfrac8{27}}7=\dfrac{19}{189}$．
2、不妨设 $A$ 位于位置 $1$，则按 $B$ 抽中的位置为 $2,3\sim4,5\sim8$ 分类，此时 $A,B$ 对决分别发生在预赛、半决赛、决赛，所求概率为\[ \left(\dfrac 17\cdot 1+\dfrac 27\cdot \dfrac 23+\dfrac 47\cdot \dfrac 23\cdot \dfrac 23\right)\cdot \left(\dfrac 13\cdot \dfrac 12\cdot \dfrac 12\right)=\dfrac{37}{756}.\]
3、在预赛相遇的队伍称为同组用 $(\quad)$ 表示，可能半决赛相遇的队伍称为同区用 $[\quad]$ 表示，则分类为\[\begin{array}{c|l|c|c|c|c|c}\hline \text{情形}&\text{队伍分布}&\text{分布的概率}&\text{预赛}&\text{半决赛}&\text{决赛}&\text{积}\\ \hline 1&[(BC)(A?)][????]&\frac{1}{21}&\frac 12&\frac 23\cdot \frac 13+\frac 13\cdot \frac 12&\frac 12&\frac{1}{216} \\ \hline 2&[(BC)(??)][A???]&\frac{2}{21}&\frac 12&\frac 12&\left(\frac 13+\frac 23\cdot \frac 13\right)\cdot \frac 12+\frac 23\cdot \frac 23\cdot \frac 13&\frac{23}{2268} \\ \hline 3&[(BA)(C?)][????]&\frac{1}{21}&\frac 13\cdot \frac 12&\frac 12&\frac 12&\frac{1}{504} \\ \hline 4&[(B?)(CA)][????]&\frac{1}{21}&\frac 12\cdot \frac 13&\frac 12&\frac 12&\frac{1}{504} \\ \hline 5&[(B?)(C?)][A???]&\frac{4}{21}&\frac 12\cdot \frac 12&\frac12&\left(\frac 13+\frac 23\cdot \frac 13\right)\cdot \frac 12+\frac 23\cdot \frac 23\cdot \frac 13&\frac{23}{2268} \\ \hline 6&[(BA)(??)][C???]&\frac{2}{21}&\frac13\cdot \frac 12&\frac 12\cdot \frac 12&\frac 12&\frac{1}{504} \\ \hline 7&[B???][(CA)(??)]&\frac{2}{21}&\frac 12\cdot \frac 13&\frac 12\cdot \frac 12&\frac 12&\frac{1}{504} \\ \hline 8&[(B?)(A?)][C???]&\frac{4}{21}&\frac 12\cdot \frac 12&\left(\frac 13\cdot \frac 12+\frac 23\cdot \frac 13\right)\cdot \frac 12&\frac 12&\frac{1}{216} \\ \hline 9&[B???][(C?)(A?)]&\frac{4}{21}&\frac 12\cdot \frac 12&\frac 12\cdot \left(\frac 13\cdot \frac 12+\frac 23\cdot \frac 13\right)&\frac 12&\frac{1}{216} \\ \hline \end{array}\] 所求概率为 $\dfrac{191}{4536}$．