2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #14
已知函数 $f(x)=\sin\dfrac{\pi x}2 $（$x\in[0,8]$），$g(x)=\dfrac 1{x-4}$（$x\in[0,4)\cup (4,8]$），则 $f(3)+f(5)=$ _____；方程 $f(x)=g(x)$ 的所有实数解的和为_____．
答案 $0$；$16$．
解析 根据题意，$f(3)=-1$，$f(5)=1$，于是 $f(3)+f(5)=0$；注意到函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的图象都关于点 $(4,0)$ 对称，因此只需要考虑 $f_1(x)=\sin\dfrac{\pi x}2$ 与函数 $g_1(x)=\dfrac 1x$ 在 $x\in (0,4)$ 上的公共点个数 $k$，则 $8k$ 即为所求所有实数解的和． \[\begin{array}{c|c|c|c}\hline x&(0,1)&[1,2]&(2,4)\\ \hline \text{公共点个数}&0&2&0\\ \hline \text{理由}&f_1(x)<1<g_1(x)&f_1(x)~\text{上凸},g_1(x)~\text{下凸},~\text{考虑}~x=1,1.5,2&f_1(x)<0<g_1(x)\\ \hline \end{array}\] 因此所求所有实数解的和为 $16$．