每日一题[3743]对称互补

2025 年北京市丰台区高三期末数学试卷 #14

已知函数 f(x)=sinπx2x[0,8]),g(x)=1x4x[0,4)(4,8]),则 f(3)+f(5)= _____;方程 f(x)=g(x) 的所有实数解的和为_____.

答案    016

解析    根据题意,f(3)=1f(5)=1,于是 f(3)+f(5)=0;注意到函数 f(x)g(x) 的图象都关于点 (4,0) 对称,因此只需要考虑 f1(x)=sinπx2 与函数 g1(x)=1xx(0,4) 上的公共点个数 k,则 8k 即为所求所有实数解的和. x(0,1)[1,2](2,4)公共点个数020理由f1(x)<1<g1(x)f1(x) 上凸,g1(x) 下凸, 考虑 x=1,1.5,2f1(x)<0<g1(x)

因此所求所有实数解的和为 16

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